jats:pThis paper is the second in a series of papers considering symmetry properties of bosonic quantum systems over 2D graphs, with continuous spins, in the spirit of the Mermin-Wagner theorem. In the model considered here the phase space of a single spin is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1">mml:msubmml:mrowmml:miℋ</mml:mi></mml:mrow>mml:mrow<mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub>mml:mo=</mml:mo>mml:msubmml:mrowmml:mtextL</mml:mtext></mml:mrow>mml:mrow<mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:miM</mml:mi>mml:mo),</mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2">mml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is a<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3">mml:mrowmml:mid</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-dimensional unit torus<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4">mml:miM</mml:mi>mml:mo=</mml:mo>mml:msupmml:mrowmml:miℝ</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mid</mml:mi></mml:mrow></mml:msup>mml:mo/</mml:mo>mml:msupmml:mrowmml:miℤ</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mid</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>with a flat metric. The phase space of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5">mml:mrowmml:mik</mml:mi></mml:mrow></mml:math>spins is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6">mml:msubmml:mrowmml:miℋ</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mik</mml:mi></mml:mrow></mml:msub>mml:mo=</mml:mo>mml:msubsupmml:mrowmml:mtextL</mml:mtext></mml:mrow>mml:mrow<mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow>mml:mrowmml:mtexts</mml:mtext>mml:mtexty</mml:mtext>mml:mtextm</mml:mtext></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:msupmml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mik</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, the subspace of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7">mml:msubmml:mrowmml:mtextL</mml:mtext></mml:mrow>mml:mrow<mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:msupmml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mik</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>formed by functions symmetric under the permutations of the arguments. The Fock space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8">mml:mrow<mml:mi mathvariant="bold-script">H</mml:mi></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9">mml:mo=</mml:mo>mml:msubmml:mrowmml:mo⊕</mml:mo></mml:mrow>mml:mrowmml:mik</mml:mi>mml:mo=</mml:mo>mml:mn0,1</mml:mn>mml:mo,</mml:mo>mml:mo…</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10">mml:mrowmml:msubmml:mrowmml:miℋ</mml:mi></mml:mrow>mml:mrowmml:mik</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>yields the phase space of a system of a varying (but finite) number of particles. We associate a space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi mathvariant="bold-script">H</mml:mi>mml:mo≃</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold-script">H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:mii</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>with each vertex<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12">mml:mii</mml:mi>mml:mi∈</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:math>of a graph<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:miℰ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>satisfying a special bidimensionality property. (Physically, vertex<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14">mml:mrowmml:mii</mml:mi></mml:mrow></mml:math>represents a heavy “atom” or “ion” that does not move but attracts a number of “light” particles.) The kinetic energy part of the Hamiltonian includes (i)<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15">mml:mo-</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi>mml:mo/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>, the minus a half of the Laplace operator on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16">mml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, responsible for the motion of a particle while “trapped” by a given atom, and (ii) an integral term describing possible “jumps” where a particle may join another atom. The potential part is an operator of multiplication by a function (the potential energy of a classical configuration) which is a sum of (a) one-body potentials<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17">mml:msupmml:mrowmml:miU</mml:mi></mml:mrow>mml:mrow<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:mix</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18">mml:mix</mml:mi>mml:mo∈</mml:mo>mml:miM</mml:mi></mml:math>, describing a field generated by a heavy atom, (b) two-body potentials<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19">mml:msupmml:mrowmml:miU</mml:mi></mml:mrow>mml:mrow<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:mix</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:miy</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20">mml:mix</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:miy</mml:mi>mml:mo∈</mml:mo>mml:miM</mml:mi></mml:math>, showing the interaction between pairs of particles belonging to the same atom, and (c) two-body potentials<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21">mml:miV</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:mix</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:miy</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22">mml:mix</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:miy</mml:mi>mml:mo∈</mml:mo>mml:miM</mml:mi></mml:math>, scaled along the graph distance<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"><mml:mi mathvariant="monospace">d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>mml:mii</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:mij</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>between vertices<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24">mml:mii</mml:mi>mml:mo,</mml:mo>mml:mij</mml:mi>mml:mi∈</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:math>, which gives the interaction between particles belonging to different atoms. The system under consideration can be considered as a generalized (bosonic) Hubbard model. We assume that a connected Lie group<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25">mml:mrow<mml:mtext mathvariant="monospace">G</mml:mtext></mml:mrow></mml:math>acts on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26">mml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, represented by a Euclidean space or torus of dimension<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27">mml:mid</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">'</mml:mi>mml:mo≤</mml:mo>mml:mid</mml:mi></mml:math>, preserving the metric and the volume in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28">mml:mrowmml:miM</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. Furthermore, we suppose that the potentials<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29">mml:mrowmml:msupmml:mrowmml:miU</mml:mi></mml:mrow>mml:mrow<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30">mml:mrowmml:msupmml:mrowmml:miU</mml:mi></mml:mrow>mml:mrow<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31">mml:mrowmml:miV</mml:mi></mml:mrow></mml:math>are<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32">mml:mrow<mml:mtext mathvariant="monospace">G</mml:mtext></mml:mrow></mml:math>-invariant. The result of the paper is that any (appropriately defined) Gibbs states generated by the above Hamiltonian is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33">mml:mrow<mml:mtext mathvariant="monospace">G</mml:mtext></mml:mrow></mml:math>-invariant, provided that the thermodynamic variables (the fugacity<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34">mml:mrowmml:miz</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and the inverse temperature<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35">mml:mrowmml:miβ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>) satisfy a certain restriction. The definition of a Gibbs state (and its analysis) is based on the Feynman-Kac representation for the density matrices.</jats:p>