The Case Against Smooth Null Infinity III: Early-Time Asymptotics for Higher $$\ell $$-Modes of Linear Waves on a Schwarzschild Background

Abstract

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>In this paper, we derive the early-time asymptotics for fixed-frequency solutions <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\phi _\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> to the wave equation <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\Box _g \phi _\ell =0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on a fixed Schwarzschild background (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$M&gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) arising from the no incoming radiation condition on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\mathscr {I}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and polynomially decaying data, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$r\phi _\ell \sim t^{-1}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> as <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$t\rightarrow -\infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, on either a timelike boundary of constant area radius <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$r&gt;2M$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula><jats:bold>(I)</jats:bold> or an ingoing null hypersurface <jats:bold>(II)</jats:bold>. In case <jats:bold>(I)</jats:bold>, we show that the asymptotic expansion of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\partial _v(r\phi _\ell )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> along outgoing null hypersurfaces near spacelike infinity <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$i^0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains logarithmic terms at order <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$r^{-3-\ell }\log r$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In contrast, in case <jats:bold>(II)</jats:bold>, we obtain that the asymptotic expansion of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\partial _v(r\phi _\ell )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> near spacelike infinity <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$i^0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains logarithmic terms already at order <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$r^{-3}\log r$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (unless <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\ell =1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>). These results suggest an alternative approach to the study of late-time asymptotics near future timelike infinity <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$i^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> that does not assume conformally smooth or compactly supported Cauchy data: In case <jats:bold>(I)</jats:bold>, our results indicate a <jats:italic>logarithmically modified Price’s law</jats:italic> for each <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>-mode. On the other hand, the data of case <jats:bold>(II)</jats:bold> lead to much stronger deviations from Price’s law. In particular, we conjecture that compactly supported scattering data on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\mathscr {H}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\mathscr {I}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> lead to solutions that exhibit the same late-time asymptotics on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\mathscr {I}}^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for each <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>: <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$r\phi _\ell |_{{\mathscr {I}}^+}\sim u^{-2}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> as <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$u\rightarrow \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>