Ternary Egyptian fractions with prime denominator
Publication Date
2022-09Journal Title
Research in Number Theory
ISSN
2522-0160
Publisher
Springer Science and Business Media LLC
Volume
8
Issue
3
Language
en
Type
Article
This Version
VoR
Metadata
Show full item recordCitation
Mond, A., & Portier, J. (2022). Ternary Egyptian fractions with prime denominator. Research in Number Theory, 8 (3) https://doi.org/10.1007/s40993-022-00339-4
Description
Funder: Cambridge Commonwealth, European and International Trust; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100003343
Funder: Engineering and Physical Sciences Research Council; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000266
Funder: Trinity College, University of Cambridge; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000727
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>For a prime number <jats:italic>p</jats:italic>, let <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$A_3(p)= | \{ m \in \mathbb {N}: \exists m_1,m_2,m_3 \in \mathbb {N}, \frac{m}{p}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_3} \} |$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>:</mml:mo>
<mml:mo>∃</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In 2019 Luca and Pappalardi proved that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$x (\log x)^3 \ll \sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We improve the upper bound, showing <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^3 (\log \log x)^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>
Keywords
Research, Egyptian fractions, Analytic number theory, Counting problems
Identifiers
s40993-022-00339-4, 339
External DOI: https://doi.org/10.1007/s40993-022-00339-4
This record's URL: https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/338534
Rights
Licence:
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Statistics
Total file downloads (since January 2020). For more information on metrics see the
IRUS guide.