Ternary Egyptian fractions with prime denominator
Publication Date
2022-09Journal Title
Research in Number Theory
ISSN
2522-0160
Publisher
Springer Science and Business Media LLC
Volume
8
Issue
3
Language
en
Type
Article
This Version
VoR
Metadata
Show full item recordCitation
Mond, A., & Portier, J. (2022). Ternary Egyptian fractions with prime denominator. Research in Number Theory, 8 (3) https://doi.org/10.1007/s40993-022-00339-4
Description
Funder: Cambridge Commonwealth, European and International Trust; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100003343
Funder: Engineering and Physical Sciences Research Council; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000266
Funder: Trinity College, University of Cambridge; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000727
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>For a prime number <jats:italic>p</jats:italic>, let <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$A_3(p)= | \{ m \in \mathbb {N}: \exists m_1,m_2,m_3 \in \mathbb {N}, \frac{m}{p}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_3} \} |$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>:</mml:mo>
<mml:mo>∃</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In 2019 Luca and Pappalardi proved that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$x (\log x)^3 \ll \sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We improve the upper bound, showing <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^3 (\log \log x)^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≪</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mo>log</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>
Keywords
Research, Egyptian fractions, Analytic number theory, Counting problems
Identifiers
s40993-022-00339-4, 339
External DOI: https://doi.org/10.1007/s40993-022-00339-4
This record's URL: https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/338534
Rights
Licence:
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Statistics
Total file downloads (since January 2020). For more information on metrics see the
IRUS guide.
Recommended or similar items
The current recommendation prototype on the Apollo Repository will be turned off on 03 February 2023. Although the pilot has been fruitful for both parties, the service provider IKVA is focusing on horizon scanning products and so the recommender service can no longer be supported. We recognise the importance of recommender services in supporting research discovery and are evaluating offerings from other service providers. If you would like to offer feedback on this decision please contact us on: support@repository.cam.ac.uk