Ternary Egyptian fractions with prime denominator

Abstract

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>For a prime number <jats:italic>p</jats:italic>, let <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$A_3(p)= | \{ m \in \mathbb {N}: \exists m_1,m_2,m_3 \in \mathbb {N}, \frac{m}{p}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_3} \} |$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>∃</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In 2019 Luca and Pappalardi proved that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$x (\log x)^3 \ll \sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We improve the upper bound, showing <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^3 (\log \log x)^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>