Show simple item record

dc.contributor.authorMond, Adva
dc.contributor.authorPortier, Julien
dc.date.accessioned2022-06-29T19:47:09Z
dc.date.available2022-06-29T19:47:09Z
dc.date.issued2022-09
dc.date.submitted2022-02-07
dc.identifier.issn2522-0160
dc.identifier.others40993-022-00339-4
dc.identifier.other339
dc.identifier.urihttps://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/338534
dc.descriptionFunder: Cambridge Commonwealth, European and International Trust; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100003343
dc.descriptionFunder: Engineering and Physical Sciences Research Council; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000266
dc.descriptionFunder: Trinity College, University of Cambridge; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000727
dc.description.abstract<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>For a prime number <jats:italic>p</jats:italic>, let <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$A_3(p)= | \{ m \in \mathbb {N}: \exists m_1,m_2,m_3 \in \mathbb {N}, \frac{m}{p}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_3} \} |$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>∃</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In 2019 Luca and Pappalardi proved that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$x (\log x)^3 \ll \sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We improve the upper bound, showing <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sum _{p \le x} A_{3}(p) \ll x (\log x)^3 (\log \log x)^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>
dc.languageen
dc.publisherSpringer Science and Business Media LLC
dc.subjectResearch
dc.subjectEgyptian fractions
dc.subjectAnalytic number theory
dc.subjectCounting problems
dc.titleTernary Egyptian fractions with prime denominator
dc.typeArticle
dc.date.updated2022-06-29T19:47:09Z
prism.issueIdentifier3
prism.publicationNameResearch in Number Theory
prism.volume8
dc.identifier.doi10.17863/CAM.85947
dcterms.dateAccepted2022-05-20
rioxxterms.versionofrecord10.1007/s40993-022-00339-4
rioxxterms.versionVoR
rioxxterms.licenseref.urihttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
dc.contributor.orcidPortier, Julien [0000-0002-5360-6917]
dc.identifier.eissn2363-9555
cam.issuedOnline2022-06-26


Files in this item

Thumbnail
Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record