Repository logo
 

Ternary Egyptian fractions with prime denominator

Published version
Peer-reviewed

Change log

Authors

Mond, Adva 

Abstract

jats:titleAbstract</jats:title>jats:pFor a prime number jats:italicp</jats:italic>, let jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$A_3(p)= | { m \in \mathbb {N}: \exists m_1,m_2,m_3 \in \mathbb {N}, \frac{m}{p}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_3} } |$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msub mml:miA</mml:mi> mml:mn3</mml:mn> </mml:msub> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mip</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo=</mml:mo> mml:mrow mml:mo|</mml:mo> mml:mrow mml:mo{</mml:mo> mml:mim</mml:mi> mml:mo∈</mml:mo> mml:miN</mml:mi> mml:mo:</mml:mo> mml:mo∃</mml:mo> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn1</mml:mn> </mml:msub> mml:mo,</mml:mo> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn2</mml:mn> </mml:msub> mml:mo,</mml:mo> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn3</mml:mn> </mml:msub> mml:mo∈</mml:mo> mml:miN</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mfrac mml:mim</mml:mi> mml:mip</mml:mi> </mml:mfrac> mml:mo=</mml:mo> mml:mfrac mml:mn1</mml:mn> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> mml:mo+</mml:mo> mml:mfrac mml:mn1</mml:mn> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> mml:mo+</mml:mo> mml:mfrac mml:mn1</mml:mn> mml:msub mml:mim</mml:mi> mml:mn3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> mml:mo}</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In 2019 Luca and Pappalardi proved that jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$x (\log x)^3 \ll \sum {p \le x} A{3}(p) \ll x (\log x)^5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mix</mml:mi> mml:msup mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:molog</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mn3</mml:mn> </mml:msup> mml:mo≪</mml:mo> mml:msub mml:mo∑</mml:mo> mml:mrow mml:mip</mml:mi> mml:mo≤</mml:mo> mml:mix</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> mml:msub mml:miA</mml:mi> mml:mn3</mml:mn> </mml:msub> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mip</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo≪</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:msup mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:molog</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mn5</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. We improve the upper bound, showing jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\sum {p \le x} A{3}(p) \ll x (\log x)^3 (\log \log x)^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msub mml:mo∑</mml:mo> mml:mrow mml:mip</mml:mi> mml:mo≤</mml:mo> mml:mix</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> mml:msub mml:miA</mml:mi> mml:mn3</mml:mn> </mml:msub> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mip</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo≪</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:msup mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:molog</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mn3</mml:mn> </mml:msup> mml:msup mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:molog</mml:mo> mml:molog</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mn2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>

Description

Funder: Cambridge Commonwealth, European and International Trust; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100003343


Funder: Engineering and Physical Sciences Research Council; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000266


Funder: Trinity College, University of Cambridge; doi: http://dx.doi.org/10.13039/501100000727

Keywords

4901 Applied Mathematics, 4904 Pure Mathematics, 49 Mathematical Sciences

Journal Title

Research in Number Theory

Conference Name

Journal ISSN

2522-0160
2363-9555

Volume Title

Publisher

Springer Science and Business Media LLC