Repository logo
 

A support theorem for parabolic stochastic PDEs with nondegenerate Hölder diffusion coefficients

Published version
Peer-reviewed

Repository DOI


Type

Article

Change log

Abstract

jats:titleAbstract</jats:title>jats:pIn this paper we work with parabolic SPDEs of the form jats:disp-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\begin{aligned} \partial _t u(t,x)=\partial _x^2 u(t,x)+g(t,x,u)+\sigma (t,x,u)\dot{W}(t,x) \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mtable mml:mtr mml:mtd mml:mrow mml:msub mml:mi∂</mml:mi> mml:mit</mml:mi> </mml:msub> mml:miu</mml:mi> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo=</mml:mo> mml:msubsup mml:mi∂</mml:mi> mml:mix</mml:mi> mml:mn2</mml:mn> </mml:msubsup> mml:miu</mml:mi> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo+</mml:mo> mml:mig</mml:mi> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:miu</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mo+</mml:mo> mml:miσ</mml:mi> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:miu</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> mml:mover mml:miW</mml:mi> mml:mo˙</mml:mo> </mml:mover> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>with Neumann boundary conditions, where jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$x\in [0,1]$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mix</mml:mi> mml:mo∈</mml:mo> mml:mo[</mml:mo> mml:mn0</mml:mn> mml:mo,</mml:mo> mml:mn1</mml:mn> mml:mo]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\dot{W}(t,x)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mover mml:miW</mml:mi> mml:mo˙</mml:mo> </mml:mover> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is the space-time white noise on jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$(t,x)\in [0,\infty )\times [0,1]$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mit</mml:mi> mml:mo,</mml:mo> mml:mix</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> mml:mo∈</mml:mo> mml:mo[</mml:mo> mml:mn0</mml:mn> mml:mo,</mml:mo> mml:mi∞</mml:mi> mml:mo)</mml:mo> mml:mo×</mml:mo> mml:mo[</mml:mo> mml:mn0</mml:mn> mml:mo,</mml:mo> mml:mn1</mml:mn> mml:mo]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, jats:italicg</jats:italic> is uniformly bounded, and the solution jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$u\in \mathbb {R}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:miu</mml:mi> mml:mo∈</mml:mo> mml:miR</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is real valued. The diffusion coefficient jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\sigma $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:miσ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is assumed to be uniformly elliptic but only Hölder continuous in jats:italicu</jats:italic>. Previously, support theorems for SPDEs have only been established assuming that jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\sigma $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:miσ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is Lipschitz continuous in jats:italicu</jats:italic>. We obtain new support theorems and small ball probabilities in this jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\sigma $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:miσ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> Hölder continuous case via the recently established sharp two sided estimates of stochastic integrals.</jats:p>

Description

Keywords

4901 Applied Mathematics, 49 Mathematical Sciences, 4905 Statistics, Infectious Diseases

Journal Title

Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations

Conference Name

Journal ISSN

2194-0401
2194-041X

Volume Title

Publisher

Springer Science and Business Media LLC
Sponsorship
EPSRC (EP/W524141/1)