Repository logo
 

The Case Against Smooth Null Infinity III: Early-Time Asymptotics for Higher ℓ -Modes of Linear Waves on a Schwarzschild Background

Published version
Peer-reviewed

Change log

Authors

Abstract

jats:titleAbstract</jats:title>jats:pIn this paper, we derive the early-time asymptotics for fixed-frequency solutions jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\phi _\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> to the wave equation jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\Box _g \phi _\ell =0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msub mml:mo□</mml:mo> mml:mig</mml:mi> </mml:msub> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> mml:mo=</mml:mo> mml:mn0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on a fixed Schwarzschild background (jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$M>0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:miM</mml:mi> mml:mo></mml:mo> mml:mn0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) arising from the no incoming radiation condition on jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$${\mathscr {I}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mrow mml:miI</mml:mi> </mml:mrow> mml:mo-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and polynomially decaying data, jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$r\phi _\ell \sim t^{-1}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mir</mml:mi> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> mml:mo∼</mml:mo> mml:msup mml:mit</mml:mi> mml:mrow mml:mo-</mml:mo> mml:mn1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> as jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$t\rightarrow -\infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mit</mml:mi> mml:mo→</mml:mo> mml:mo-</mml:mo> mml:mi∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, on either a timelike boundary of constant area radius jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$r>2M$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mir</mml:mi> mml:mo></mml:mo> mml:mn2</mml:mn> mml:miM</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>jats:bold(I)</jats:bold> or an ingoing null hypersurface jats:bold(II)</jats:bold>. In case jats:bold(I)</jats:bold>, we show that the asymptotic expansion of jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\partial _v(r\phi _\ell )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msub mml:mi∂</mml:mi> mml:miv</mml:mi> </mml:msub> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mir</mml:mi> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> along outgoing null hypersurfaces near spacelike infinity jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$i^0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mii</mml:mi> mml:mn0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains logarithmic terms at order jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$r^{-3-\ell }\log r$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msup mml:mir</mml:mi> mml:mrow mml:mo-</mml:mo> mml:mn3</mml:mn> mml:mo-</mml:mo> mml:miℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> mml:molog</mml:mo> mml:mir</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In contrast, in case jats:bold(II)</jats:bold>, we obtain that the asymptotic expansion of jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\partial _v(r\phi _\ell )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msub mml:mi∂</mml:mi> mml:miv</mml:mi> </mml:msub> mml:mrow mml:mo(</mml:mo> mml:mir</mml:mi> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> mml:mo)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> near spacelike infinity jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$i^0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mii</mml:mi> mml:mn0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> contains logarithmic terms already at order jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$r^{-3}\log r$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:msup mml:mir</mml:mi> mml:mrow mml:mo-</mml:mo> mml:mn3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> mml:molog</mml:mo> mml:mir</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (unless jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\ell =1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:miℓ</mml:mi> mml:mo=</mml:mo> mml:mn1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>). These results suggest an alternative approach to the study of late-time asymptotics near future timelike infinity jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$i^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mii</mml:mi> mml:mo+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> that does not assume conformally smooth or compactly supported Cauchy data: In case jats:bold(I)</jats:bold>, our results indicate a jats:italiclogarithmically modified Price’s law</jats:italic> for each jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:miℓ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>-mode. On the other hand, the data of case jats:bold(II)</jats:bold> lead to much stronger deviations from Price’s law. In particular, we conjecture that compactly supported scattering data on jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$${\mathscr {H}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mrow mml:miH</mml:mi> </mml:mrow> mml:mo-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$${\mathscr {I}}^-$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mrow mml:miI</mml:mi> </mml:mrow> mml:mo-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> lead to solutions that exhibit the same late-time asymptotics on jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$${\mathscr {I}}^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:msup mml:mrow mml:miI</mml:mi> </mml:mrow> mml:mo+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for each jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\ell $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:miℓ</mml:mi> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>: jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$r\phi \ell |{{\mathscr {I}}^+}\sim u^{-2}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:mir</mml:mi> mml:msub mml:miϕ</mml:mi> mml:miℓ</mml:mi> </mml:msub> mml:msub mml:mrow mml:mo|</mml:mo> </mml:mrow> mml:msup mml:mrow mml:miI</mml:mi> </mml:mrow> mml:mo+</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> mml:mo∼</mml:mo> mml:msup mml:miu</mml:mi> mml:mrow mml:mo-</mml:mo> mml:mn2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> as jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$u\rightarrow \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> mml:mrow mml:miu</mml:mi> mml:mo→</mml:mo> mml:mi∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>

Description

Keywords

Price's law, Asymptotics, Logarithmic Asymptotics, Early-time asymptotics, Scattering constructions, Boundary value problem, Peeling

Journal Title

Annals of PDE

Conference Name

Journal ISSN

2524-5317
2199-2576

Volume Title

Publisher

Springer Science and Business Media LLC