jats:titleAbstract</jats:title>jats:pWe study a special running vacuum model (RVM) with jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\Lambda = 3 \alpha H^2+3\beta H_0^4 H^{-2}+\Lambda _0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miΛ</mml:mi>mml:mo=</mml:mo>mml:mn3</mml:mn>mml:miα</mml:mi>mml:msupmml:miH</mml:mi>mml:mn2</mml:mn></mml:msup>mml:mo+</mml:mo>mml:mn3</mml:mn>mml:miβ</mml:mi>mml:msubsupmml:miH</mml:mi>mml:mn0</mml:mn>mml:mn4</mml:mn></mml:msubsup>mml:msupmml:miH</mml:mi>mml:mrowmml:mo-</mml:mo>mml:mn2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup>mml:mo+</mml:mo>mml:msubmml:miΛ</mml:mi>mml:mn0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, where jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\alpha $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:miα</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\beta $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:miβ</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\Lambda 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:msubmml:miΛ</mml:mi>mml:mn0</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> are the model parameters and jats:italicH</jats:italic> is the Hubble one. This RVM has non-analytic background solutions for the energy densities of matter and radiation, which can only be evaluated numerically. From the analysis of the CMB power spectrum and baryon acoustic oscillation along with the prior of jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\alpha >0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miα</mml:mi>mml:mo></mml:mo>mml:mn0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> to avoid having a negative dark energy density, we find that jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\alpha <2.83\times 10^{-4}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miα</mml:mi>mml:mo<</mml:mo>mml:mn2.83</mml:mn>mml:mo×</mml:mo>mml:msupmml:mn10</mml:mn>mml:mrowmml:mo-</mml:mo>mml:mn4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\beta =(-0.2^{+3.9}{-4.5})\times 10^{-4}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miβ</mml:mi>mml:mo=</mml:mo>mml:mrowmml:mo(</mml:mo>mml:mo-</mml:mo>mml:mn0</mml:mn>mml:mo.</mml:mo>mml:msubsupmml:mn2</mml:mn>mml:mrowmml:mo-</mml:mo>mml:mn4.5</mml:mn></mml:mrow>mml:mrowmml:mo+</mml:mo>mml:mn3.9</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup>mml:mo)</mml:mo></mml:mrow>mml:mo×</mml:mo>mml:msupmml:mn10</mml:mn>mml:mrowmml:mo-</mml:mo>mml:mn4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (95jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$%$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mo%</mml:mo></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> C.L.). We show that the RVM fits the cosmological data comparably to the jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\Lambda \hbox {CDM}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miΛ</mml:mi>mml:mtextCDM</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In addition, we relate the fluctuation amplitude jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\sigma 8$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:msubmml:miσ</mml:mi>mml:mn8</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> to the neutrino mass sum jats:inline-formulajats:alternativesjats:tex-math$$\Sigma m\nu $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">mml:mrowmml:miΣ</mml:mi>mml:msubmml:mim</mml:mi>mml:miν</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>